Question

13．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为BB₁，CD的中点，则点F到平面A₁D₁E的距离为$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出点F到平面A₁D₁E的距离．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角系，
A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，1，$\frac{1}{2}$），F（0，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$=（1，0，0），$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（1，1，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（-1，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设平面A₁D₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=x+y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
∴点F到平面A₁D₁E的距离为d=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．