Question

（本小题满分12分）

正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，E，F分别是D₁B，AD的中点，

（1）建立适当的坐标系，求出E点的坐标；

（2）证明：EF是异面直线D₁B与AD的公垂线；

（3）求二面角D₁—BF—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）E点坐标为（1，1，1）. （2）见解析；（3）二面角D₁—BF—C的余弦值为.

【解析】(1) 以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则易确定A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.设D­₁（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.

   

(2)利用向量垂直的坐标运算证明和即可.

(3)利用向量法求二面角，首先求出两个面的法向量，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补来求二面角的大小.

（1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A、B、C的坐标分别为A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）.

设D­₁（0，0，2m）（m>0），则E（1, 1, m）.

故E点坐标为（1，1，1）.                                  …………………4分

（2）由（I）可知，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁是棱长为2的正方体.

又∵FD=1， ∴F（1，0，0），

故EF是AD与D₁B的公垂线.                                  …………………8分

（3）设n⊥平面FD₁B，n=（x，y，z）

       

        取n₀=（2，－1，1），                               …………………10分

        则n₀与所成角θ等于二面角D₁—FB—C的平面角，

       

∴二面角D₁—BF—C的余弦值为                          …………………12分

解法二：（Ⅲ）延长CD交BF延长线于P，作DN⊥BP于N，连ND₁，

        ∵DD₁⊥平面ABCD，       ∴ND₁⊥BP，

∴∠DND₁就   是二面角D₁—FD—C的平面角.       ……10分

在Rt△DFP中，DP=2，FD=1，FP=，  

∴二面角D₁—BF—C的余弦值为.    ……………………12分