【题目】己知定义在上的函数
的单增区间为
,且图象过点
.
(1)求函数的解析式;
(2)对任意的,存在常数
使得
成立,求整数
的值.
【答案】(1)(2)
或0.
【解析】
(1)根据单调区间求出,再根据二次函数的图象过
解出
即可求解.
(2)(法1)令,条件等价于对任意的
,存在常数
使得
成立,只需
,设
,根据二次函数的图象与性质,讨论
的取值范围,求出函数的最小值
,即
,根据函数
的单调性即可
的最大值,
(法2)令,根据题意条件等价于对任意的
,存在常数
使得
成立,函数
在
上的最大值不小于
,根据
的单调性即可求出最大值为
,从而只需条件等价于对任意的
,
,只需
即可.
(1)由题知,解得
,
因为二次函数的图象过点,所以
,解得
,
所以;
(2)(法1)令,则题目中条件等价于对任意的
,
存在常数使得
成立,
也就是等价于关于t的函数在
上的最小值不小于
.
下面求函数在
上的最小值.
当,即
时,
;
当,即
时,
;
记函数在
上的最小值为
,
则,
于是原命题就等价于:存在常数,使得
成立,
即等价于关于m的函数的最大值不小于
即可,
因为函数在
上是单调递减的,所以
,
所以,解得
,又
,所以
或0.
(法2)令,则题目中条件等价于对任意的
,
存在常数使得
成立,
也就是等价于关于m的函数在
上的最大值不小于
.
因为,所以函数
在
上单减,
因此,即
,
则题目中条件等价于对任意的,
,
即函数在
上的最小值不小于
.
又,
,
所以,
解得,又
,
所以或0.
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【题目】设有一组圆:
.下列四个命题其中真命题的序号是____
①存在一条定直线与所有的圆均相切;
②存在一条定直线与所有的圆均相交;
③存在一条定直线与所有的圆均不相交;
④所有的圆均不经过原点.
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【题目】为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量,随机抽取20台,其无故障连续使用时限(单位:h)统计如下:
分组 | 频数 | 频率 | 频率/组距 |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
2 | 0.10 | 0.0050 | |
3 | 0.15 | 0.0075 | |
4 | 0.20 | 0.0100 | |
6 | 0.30 | 0.0150 | |
2 | 0.10 | 0.0050 | |
1 | 0.05 | 0.0025 | |
合计 | 20 | 1 | 0.050 |
(1)作出频率分布直方图;
(2)估计8万台电风扇中无故障连续使用时限不低于280h的有多少台;
(3)假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替,估计这8万台电风扇的平均无故障连续使用时限.
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【题目】甲、乙两台机床同时加工直径为10cm的零件,为了检验零件的质量,从零件中各随机抽取6件测量,测得数据如下(单位:mm):
甲:99,100,98,100,100,103;
乙:99,100,102,99,100,100.
(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差
(2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
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【题目】已知圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P0平分时,写出直线AB的方程(用直线方程的一般式表示).
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【题目】如图1,在直角梯形中,
,
,点
在
上,且
,将
沿
折起,使得平面
平面
(如图2).
为
中点
(1)求证:;
(2)求四棱锥的体积;
(3)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为中心,以坐标轴为对称轴的椭圆C经过点M(2,1),N(,-
).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)经过点M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆C相交于异于M点的A,B两点,求直线AB的斜率.
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