Question

已知数列{a_n}中a₁=，an=2-（n≥2，n∈N^*），数列 {b_n}，满足b_n=（n∈N^*），
（1）求证数列 {b_n}是等差数列；
（2）若s_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）是否存在a与b∈Z，使得：a≤s_n≤b恒成立．若有，求出a的最大值与b的最小值，如果没有，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意知b_n=，∴b_n-b_n-1=-=1（n∈N*），
∴数列{b_n]是首项为b₁==-，公差为1的等差数列．
（2）依题意有．a_n-1=
S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）=，
设函数 ，则函数在（ ，+∞）上为减函数．
S_n在[3+∞）上是递增，且S_n＜，故当n=3时，且S_n=，取最小值-．
而函数 在（-∞，）上也为减函数，S_n在（1，2]上是递增，且S_n＞，
故当n=2时，S_n取最大值：S₂=．S_n的最大值为 ．
a的最大值与b的最小值分别为-3，2
分析：（1）由已知中b_n=，a_n=2-，我们易得到b_n-b_n-1=1，再由a₁=，求出数列{b_n]是首项b₁，后即可得到数列{b_n]是等差数列；
（2）由（1）中的结论，我们可得a_n-1=，由此可将S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），进行化简，构造设函数 ，讨论函数的单调性后，易得到当n=2时，S_n取最大值，即可得到结果．
点评：本题考查的知识点是等差关系的确定及数列的函数特征，在求数列的最大项及数列前n项和的最大值时，我们常借助函数的性质进行分析，但要注意数列是自变量为正整数的特殊函数，故满足条件的n值，均应为正整数．