Question

7．在△ABC中，C=$\frac{2π}{3}$，AB=3，则△ABC的周长为（　　）

• A． $6sin（{A+\frac{π}{3}}）+3$
• B． $6sin（{A+\frac{π}{6}}）+3$
• C． $2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{3}}）+3$
• D． $2\sqrt{3}sin（{A+\frac{π}{6}}）+3$

Answer 1

分析 设△ABC的外接圆半径为R，由已知及正弦定理可求BC=2RsinA=2$\sqrt{3}$sinA，AC=2RsinB=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A），进而利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）+3，即可得解．

解答 解：设△ABC的外接圆半径为R，则2R=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
所以：BC=2RsinA=2$\sqrt{3}$sinA，AC=2RsinB=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A），
所以：△ABC的周长=2$\sqrt{3}$（sinA+sin（$\frac{π}{3}$-A））+3=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）+3．
故选：C．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于中档题．