Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，CAB=90°，AB=AC=2，AA₁=$\sqrt{3}$，M为BC的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
（1）求证：平面APM⊥平面BB₁C₁C；
（2）试判断直线BC₁与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出AM⊥BC，AM⊥BB₁，由此能证明平面APM⊥平面BB₁C₁C．
（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法推导出直线BC₁与AP不能垂直．

解答 证明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，CAB=90°，
AB=AC=2，AA₁=$\sqrt{3}$，M为BC的中点，P为侧棱BB₁上的动点．
∴AM⊥BC，AM⊥BB₁，
∵BC∩BB₁=B，∴AM⊥平面BB₁C₁C，
∵AM?平面APM，
∴平面APM⊥平面BB₁C₁C．
解：（2）以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，2，0），C₁（2，0，$\sqrt{3}$），A（0，0，0），设BP=t，（0$≤t≤\sqrt{3}$），
则P（0，2，t），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（2，-2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，2，t），
若直线BC₁与AP能垂直，则$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{AP}=0-4+\sqrt{3}t=0$，
解得t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∵t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＞BB₁=$\sqrt{3}$，
∴直线BC₁与AP不能垂直．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查两直线能否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．