Question

13．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB=AA₁，∠BAA₁=∠BAC=60°，点O是线段AB的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面OA₁C；
（Ⅱ）若AB=2，A₁C=$\sqrt{6}$，求二面角A-BC-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，OA₁，A₁B，以O为原点，OA、OA₁、OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC₁∥平面OA₁C．
（Ⅱ）求出平面BCA₁的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A-BC-A₁的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接OC，OA₁，A₁B．∵CA=CB，∴OC⊥AB．
∵CA=AB=AA₁，∠BAA₁=∠BAC=60°，
故△AA₁B、△ABC都为等边三角形，
∴OA₁⊥AB，CO⊥AB，∴OA、OA₁、OC两两垂直，
以O为原点，OA、OA₁、OC所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
设CA=CB=AA₁=2，
则B（-1，0，0），C₁（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），O（0，0，0），
A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{O{A}_{1}}$=（0，$\sqrt{3}，0$），$\overrightarrow{OC}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
设平面OA₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵$\overrightarrow{B{C}_{1}}$$•\overrightarrow{n}$=0，且BC₁?平面OA₁C，
∴BC₁∥平面OA₁C．
解：（Ⅱ）∵AB=2，A₁C=$\sqrt{6}$，∴B（-1，0，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），A₁（0，$\sqrt{3}，0$），
$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{A}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}，0$），
设平面BCA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=x+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{A}_{1}}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，-1，-1）$，
平面ABC的法向量$\overrightarrow{p}$=（0，0，1），
设二面角A-BC-A₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-BC-A₁的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．