Question

设x=m和x=n是函数的两个极值点，其中m＜n，a∈R．
（Ⅰ） 求f（m）+f（n）的取值范围；
（Ⅱ） 若，求f（n）-f（m）的最大值．
注：e是自然对数的底数．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的运用，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围；
（Ⅱ）设，确定t的范围，表示出f（n）-f（m），构造新函数，利用导数法确定函数的单调性，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
依题意，方程x²-（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．
故，∴a＞0，
并且m+n=a+2，mn=1．
所以，
=
故f（m）+f（n）的取值范围是（-∞，-3）．   …（7分）
（Ⅱ）当时，．
若设，则．
于是有，∴，∴t≥e
∴

构造函数（其中t≥e），则．
所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，．
故f（n）-f（m）的最大值是．        …（15分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．