Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b2+S2=12，q=

S2

b2

．
（I）求a_n与b_n；
（II）设Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn，n∈N+，求T_n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，根据b2+S2=12，q=

S2

b2

列关于等差数列的公差及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的公差和等比数列的公比后可得数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）把求得的数列{a_n}与数列{b_n}的通项公式代入T_n，整理后利用错位相减法可求T_n的值．

解答：解（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，∵差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，
且b2+S2=12，q=

S2

b2

，
∴

b1q+a1+a2=12 q= a1+a2 1•q

，即

q+6+d=12① 6+d=q2    ②

，解得：

d=3 q=3

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，
bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．
（Ⅱ）T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₁b_n
=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•3²+…+3×2×3^n-2+3•3^n-1
=n•3+（n-1）•3²+（n-2）•3³+…+2•3^n-1+3ⁿ．
∴3Tn=n•32+(n-1)•33+…+2•3n+3n+1．
∴3Tn-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1
=（3²+3³+…+3ⁿ⁺¹）-3n
=

9×(1-3n)

1-3

-3n=

3n+2

2

-3n-

9

2

．
∴Tn=

3n-1

2

-n-

3

2

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的前n项和，一个等差数列和一个等比数列的积数列，其前n项和的求法一般是用错位相减法．此题是中档题．