Question

4．函数f（x）=sin2x-x在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值为$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，求得极值，以及端点的函数值，比较，即可得到所求最大值．

解答 解：函数f（x）=sin2x-x的导数为f′（x）=2cos2x-1，
由f′（x）=0，可得cos2x=$\frac{1}{2}$，
即有x=±$\frac{π}{6}$，
可得极值为f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{π}{6}$，
f（-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$，
又f（$\frac{π}{2}$）=sinπ-$\frac{π}{2}$=-$\frac{π}{2}$，
f（-$\frac{π}{2}$）=sin（-π）+$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
综上可得，最大值为$\frac{π}{2}$．
故答案为：$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求最值，注意求出极值和端点的函数值比较，考查运算能力，属于中档题．