Question

16．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y²=4x的焦点F且与该抛物线交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAB的面积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 通过题意易知直线l方程为：$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，利用韦达定理、两点间距离公式可知|AB|=$\frac{16}{3}$，结合点到直线的距离公式、三角形面积公式计算即得结论．

解答 解：∵抛物线方程为：y²=4x，
∴F（1，0），
又∵直线l的倾斜角为60°，
∴直线l的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴直线l方程为：y=$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，
消去y整理得：3x²-10x+3=0，
∴x_A+x_B=$\frac{10}{3}$，x_Ax_B=1，
∴y_A-y_B=[$\sqrt{3}$（x_A-1）]-[$\sqrt{3}$（x_B-1）]=$\sqrt{3}$（x_A-x_B），
∴|AB|=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+（{{y}_{A}-y}_{B}）^{2}}$
=$\sqrt{（{x}_{A}-{x}_{B}）^{2}+3（{{x}_{A}-{x}_{B}）}^{2}}$
=2$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$
=2$\sqrt{（{\frac{10}{3}）}^{2}-4}$
=$\frac{16}{3}$，
又∵原点O到直线AB的距离d=$\frac{|0-0-\sqrt{3}|}{\sqrt{（{\sqrt{3}）}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$•|AB|•d=$\frac{1}{2}•$$\frac{16}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合，注意解题方法的积累，属于中档题．