Question

4．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三视图如图所示．
（1）画出此四棱柱的直观图，并求出四棱柱的体积；
（2）若E为AA₁上一点，EB∥平面A₁CD，试确定E点位置，并证明EB⊥平面AB₁C₁D．

Answer 1

分析 （1）根据三视图画出四棱柱的直观图，由四棱柱的体积$V={S_{ABCD}}•A{A_1}=6\sqrt{2}$即可得解．
（2）作EF∥AD交A₁D于F，连CF，则易证BCFE为平行四边形且$AE=\sqrt{2}$．由$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{{B{B_1}}}$，可证BE⊥AB₁，又AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A．
可证AD⊥平面AA₁B₁B，BE?平面AA₁B₁B，从而证明AD⊥BE，即可证明BE⊥平面AB₁C₁D．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）四棱柱的直观图参考右下图；  …（3分）
四棱柱的体积$V={S_{ABCD}}•A{A_1}=6\sqrt{2}$；…（6分）
（2）存在E为AA₁的中点，EB∥平面A₁CD，并EB⊥平面AB₁C₁D．
证明：作EF∥AD交A₁D于F，连CF，则BCFE共面，
∵EB∥平面A₁CD，
∴BE∥CF，又EF∥BC，
∴BCFE为平行四边形．
∴$EF=BC=\frac{1}{2}AD$，
∴E为AA₁的中点．…（10分）
在矩形AA₁B₁B中，AB=2，$AE=\sqrt{2}$．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{{B{B_1}}}$，
∴△AB₁B～△ABE，
∴∠AB₁B=∠ABE，
∴BE⊥AB₁，又AD⊥AA₁，AD⊥AB，AA₁∩AB=A．
∴AD⊥平面AA₁B₁B，BE?平面AA₁B₁B．
∴AD⊥BE，AB₁∩AD=A，
∴BE⊥平面AB₁C₁D．…（14分）

点评 本小题主要考查空间中线面关系，空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．