Question

求证：

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2n-1)•2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

．

Answer 1

分析：运用数学归纳法，分两步加以论证：①当n=1时，可得原等式为

1

2

=

1

2

，显然成立；②设当n=k时原等式成立，即有

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

，将此代入n=k+1的式子并利用

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

2k+1

-

1

2k+2

进行化简，可证出当n=k+1的式子左右两边也相等．最后由①②相结合，可得原等式以任意的n∈N^*恒成立．

解答：解：①当n=1时，左边=

1

1×2

=

1

2

，右边=

1

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假设当n=k时等式成立，即

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

．
则当n=k+1时，

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

1

k+1

+

1

(2k+1)(2k+2)

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

2

2k+2

+

1

2k+1

-

1

2k+2

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

，
即当n=k+1时，等式成立．
根据（1）（2）可知，对一切n∈N^*，原等式成立．

点评：本题给出一个恒等式，要求我们利用数学归纳法进行证明．着重考查了数列的通项写法、裂项法证明等式和数学归纳法的一般方法等知识，属于中档题．