Question

已知数集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数．
（1）求第n个集合中各数之和S_n的表达式；
（2）设n是不小于2的正整数，f(n)=

n

i=1

1

3 Si

，求证：n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)．

Answer 1

分析：（1）第一个集合中有一个数，第二个集合中有2个数，第三个集合中有3个数，…第n个集合中有n个数，利用等差数列求和公式计算a_n前共有多少个奇数，从而得到第n个集合中各数之和S_n的表达式．
（2）由（1）得f(n)=

n

i=1

1

3 Si

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答：解：（1）设第n个集合中的最小数为a_n，则a_n前共有1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

个奇数，
∴an=2×[

n(n-1)

2

+1]-1=n2-n+1．　　　　…（3分）
从而Sn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3．  …（5分）
（2）由（1）得，

3	Si

=i(i=1，2，3，…，n)，
∴f(n)=

n

i=1

1

3 Si

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
下面用数学归纳法证明n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)． …（7分）
当n=2时，左边=2+f（1）=3，右边=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，等式成立；
假设n=k（k≥2）时，等式成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）成立，
那么，当n=k+1时，
左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+1+f（k）=（k+1）f（k）+1=(k+1)

k

i=1

1

i

+1．
右边=(k+1)f(k+1)=(k+1)

k+1

i=1

1

i

=(k+1)[

k

i=1

1

i

+

1

k+1

]=(k+1)

k

i=1

1

i

+1，
即左边=右边，
∴等式也成立．…（9分）
综上可知，对一切不小于2的正整数n，等式n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)都成立．…（10分）

点评：本题考查数列求和的方法，注意集合中元素的特征及元素个数的规律；本题还考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立．