Question

已知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…，其中第n个集合中有n个元素(n∈N^*),每一个集合都由连续正奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数.

(1)求数集序列第n个集合中最大数a_n的表达式;

(2)设数集序列第n个集合中各数之和为T_n.

①求T_n的表达式;

②令f(n)=()ⁿ,求证:2≤f(n)＜3.

Answer 1

解:(1)∵第n个集合有n个奇数,

∴在前n个集合中共有奇数的个数为1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1).

则第n个集合中最大的奇数a_n=2×n(n+1)-1=n²+n-1.

(2)①由(1)得a_n=n²+n-1,

从而得T_n=n(n²+n-1)-×2=n³.

②由①得T_n=n³,

∴f(n)=(1+)ⁿ=(1+)ⁿ(n∈N^*).

ⅰ当n=1时,f(1)=2,显然2≤f(1)＜3.

ⅱ当n≥2时,(1+)ⁿ=()⁰+()¹+()²+…+()ⁿ

＞()⁰+()¹=2,

()^k=·＜

≤=-.

∴(1+)ⁿ=()⁰+()¹+()²+…+()ⁿ

＜1+1+(1-)+(-)+…+(-)

=3-＜3,

即2＜f(n)＜3.

综上所述,2≤f(n)＜3.