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已知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…,其中第n个集合有n个元素,每一个集合都由连续正奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数.
(1)求第n个集合中各数之和Sn的表达式;
(2)设n是不小于2的正整数,,求证:
【答案】分析:(1)第一个集合中有一个数,第二个集合中有2个数,第三个集合中有3个数,…第n个集合中有n个数,利用等差数列求和公式计算an前共有多少个奇数,从而得到第n个集合中各数之和Sn的表达式.
(2)由(1)得.用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤,第一步,先证明当当n=1时,结论显然成立,第二步,先假设假设当n=k时结论成立,利用此假设结合因式的配凑法,证明当n=k+1时,结论也成立即可.
解答:解:(1)设第n个集合中的最小数为an,则an前共有个奇数,
. …(3分)
从而.  …(5分)
(2)由(1)得,

下面用数学归纳法证明. …(7分)
当n=2时,左边=2+f(1)=3,右边=,等式成立;
假设n=k(k≥2)时,等式成立,即k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k)成立,
那么,当n=k+1时,
左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=kf(k)+1+f(k)=(k+1)f(k)+1=
右边==
即左边=右边,
∴等式也成立.…(9分)
综上可知,对一切不小于2的正整数n,等式都成立.…(10分)
点评:本题考查数列求和的方法,注意集合中元素的特征及元素个数的规律;本题还考查数学归纳法,数学归纳法的基本形式:
设P(n)是关于自然数n的命题,若1°P(n)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k≥n),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n的自然数n都成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…,其中第n个集合有n个元素,每一个集合都由连续正奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数.
(1)求第n个集合中各数之和Sn的表达式;
(2)设n是不小于2的正整数,f(n)=
n
i=1
1
3Si
,求证:n+
n-1
i=1
f(i)=nf(n)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知数集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…,其中第n个集合中有n个元素(n∈N*),每一个集合都由连续正奇数组成,并且每一个集合中的最大数与后一个集合中的最小数是连续奇数.

(1)求数集序列第n个集合中最大数an的表达式;

(2)设数集序列第n个集合中各数之和为Tn.

①求Tn的表达式;

②令f(n)=()n,求证:2≤f(n)<3.

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