Question

已知数列{a_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n+1=2a_n+1，cn=

1

(2n+1)(2n+3)

．
（1）求证数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得Tn＞

1

am

对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1，知a_n+1+1=2（a_n+1），由此能证明数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，用裂项求和法求出T_n=

n

6n+9

，由此能求出使得Tn＞

1

am

对任意n∈N^*都成立的正整数m的最小值．

解答：（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，a₁+1=2≠0…（2分）
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵cn=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，…（6分）
∴Tn=

1

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

2

(

1

3

-

1

2n+3

)=

n

3×(2n+3)

=

n

6n+9

．…（8分）
∵

Tn+1

Tn

=

n+1

6n+15

•

6n+9

n

=

6n2+15n+9

6n2+15n

=1+

9

6n2+15n

＞1，
又T_n＞0，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*，即数列{T_n}是递增数列．
∴当n=1时，T_n取得最小值

1

15

．…（10分）
要使得Tn＞

1

am

对任意n∈N^*都成立，
结合（Ⅰ）的结果，只需

1

15

＞

1

2m-1

，
由此得m＞4．
∴正整数m的最小值是5．…（12分）

点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的最小值的求法．解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．