Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2a|，不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}．
（1）求实数a的值；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，|x-2a|≤4的解集为{x|-2≤x≤6}，可解得a；
（2）设g（x）=f（x）+f（x+2），可求得g（x）=|x-2|+|x|=

2-2xx＜0 20≤x≤2 2x-2x＞2

，求得g（x）的取值范围即可．

解答：解：（1）由f（x）≤4得|x-2a|≤4，解得2a-4≤x≤2a+4，
又已知不等式f（x）≤4的解集为{x|-2≤x≤6}，
所以

2a-4=-2 2a+4=6

解得a=1…（4分）
（2）由（Ⅰ）可知，f（x）=|x-2|，
设g（x）=f（x）+f（x+2），
即g（x）=|x-2|+|x|=

2-2x，x＜0 2，0≤x≤2 2x-2，x＞2

，…（6分）
当x＜0时，g（x）＞2；
当0≤x≤2时，g（x）=2；
当x＞2时，g（x）＞2
综上，g（x）≥2…（8分）
故m＞2…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，理解“存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立”中的“存在”的含义是关键，也是难点，是易错点，需求得g（x）_min，而非g（x）_max，属于难题．