Question

（本小题满分12分）

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁

(I)若M、N分别是AB，A₁C的中点，求证：MN//平面BCC₁B₁

(II)若三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各棱长均为2，∠B₁BA＝∠B₁BC＝60°，P为线段B₁B上的动点，当PA＋PC最小时，求证：B₁B⊥平面APC。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：连接推出MN MN//.

（Ⅱ）将平面展开到与平面 共面,

到的位置，此时为菱形，

即为的最小值，

由,推出,，即，，

进一步得到.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明：连接则,因为AM=MB,所以MN……………3分

又,

所以MN//.…………5分

（Ⅱ）将平面展开到与平面 共面,

到的位置，此时为菱形，…………7分

可知

即为的最小值，…………9分

此时，,

所以,，即，，

所以，.……………12分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，（2）小题，将立体问题转化成平面问题，这也是解决立体几何问题的一个基本思路。。