Question

已知函数f（x）=-2sin²

ωx

2

+sin（ωx+

π

6

）-cos（ωx+

π

3

）（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，

BA

•

BC

=

2 3

3

，且a+c=4，试求b²的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，根据周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，由f（B）=1，求出B的度数，再利用平面向量的数量积运算法则化简

BA

•

BC

=

3 3

2

，求出ac的值，进而确定出a²+c²的值，利用余弦定理即可求出b²的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
∵T=π，∴ω=2，
则f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1；
（Ⅱ）f（B）=2sin（2B+

π

6

）-1=1，即sin（2B+

π

6

）=1，
∴2B+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：B=kπ+

π

6

（k∈Z），
∵B为△ABC的内角，
∴B=

π

6

，
∵

BA

•

BC

=cacosB=

3 3

2

，
∴ac=3，
∵a+c=4，
∴a²+c²=（a+c）²-2ac=16-6=10，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=10-3

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角函数的周期性及其运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．