Question

20．已知lga+lgb=lg2，$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{b}{{b}^{2}+2}$的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得正数ab满足b=$\frac{2}{a}$，代入原变形可得$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{b}{{b}^{2}+2}$=$\frac{2}{a+\frac{2}{a}}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵lga+lgb=lg2，∴lgab=lg2，
∴正数ab满足ab=2，∴b=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{b}{{b}^{2}+2}$=$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{\frac{2}{a}}{\frac{4}{{a}^{2}}+2}$
=$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{2a}{4+2{a}^{2}}$=$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$=$\frac{2}{a+\frac{2}{a}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{a•\frac{2}{a}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
当且仅当a=$\frac{2}{a}$即a=$\sqrt{2}$时取等号．
故选：D

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及对数的运算，属基础题．