Question

15．设函数f（x）=a^x+（k+1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若${\;}{f（1）=\frac{3}{2}}$，求函数y=g（x）=a^2x+a^-2x-4mf（x）（m∈R）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的定义，可得f（-x）+f（x）=0恒成立，化简整理，即可得到所求值；
（2）由f（1）的值，解得a=2，可得f（x）的解析式，由x的范围，可得t=f（x）的范围，再由g（x）化简整理可得g（x）=t²-4mt+2，t∈[0，$\frac{3}{2}$]，求出对称轴，讨论对称轴和区间的关系，即可得到最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=a^x+（k+1）a^-x是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）+f（x）=a^-x+（k+1）a^x+a^x+（k+!）a^-x
=（k+2）（a^x+a^-x）=0对于任意实数都成立．
∴k=-2；
（2）f（x）=a^x-a^-x，
由${\;}{f（1）=\frac{3}{2}}$，可得a-a^-1=$\frac{3}{2}$，
解得a=2，（负值舍去），
即有t=f（x）=2^x-2^-x，
由0≤x≤1，可得1≤2^x≤2，
由t在[0，1]递增，可得t∈[0，$\frac{3}{2}$]，
由g（x）=a^2x+a^-2x-4mf（x）=2^2x+2^-2x-4m（2^x-2^-x）
=（2^x-2^-x）²-4m（2^x-2^-x）+2，
即有函数y=t²-4mt+2，t∈[0，$\frac{3}{2}$]，
当对称轴t=2m≥$\frac{3}{2}$，即m≥$\frac{3}{4}$时，区间[0，$\frac{3}{2}$]为减区间，
可得t=$\frac{3}{2}$，即x=1，最小值为$\frac{17}{4}$-6m；
当0＜2m＜$\frac{3}{2}$，即0＜m＜$\frac{3}{4}$时，可得t=2m，
即x=log₂（m+$\sqrt{2}$）时，取得最小值2-4m²；
当2m≤0即m≤0时，区间[0，$\frac{3}{2}$]为增区间，
可得t=0，即x=0，最小值为2．
综上可得，m≤0时，g（x）的最小值为2；
0＜m＜$\frac{3}{4}$时，g（x）的最小值为2-4m²；
m≥$\frac{3}{4}$时，g（x）的最小值为$\frac{17}{4}$-6m．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查奇函数的定义的运用，以及指数函数的单调性的运用，考查换元法，以及二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，属于中档题．