Question

7．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左右两焦点，以F₁为圆心的圆恰经过双曲线的中心，过F₂作⊙F₁的切线，切点为P，若点P恰在双曲线一条渐近线上，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． 4

Answer 1

分析 由题意，圆的半径为c，∠PF₁F₂=60°，可得P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入y=-$\frac{b}{a}$x可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=-$\frac{b}{a}$•（-$\frac{c}{2}$），即可得出结论．

解答 解：由题意，圆的半径为c，可得∠PF₁F₂=60°，
解三角形得P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），又此点在准线上
所以代入y=-$\frac{b}{a}$x可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$c=-$\frac{b}{a}$•（-$\frac{c}{2}$），
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴e=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．