Question

10．我们知道f（x）=sinx是周期函数，且2π是它的最小正周期，它的图象关于点（0，0）与（π，0）对称，且2（π-0）=2π．若定义在R上的函数f（x）的图象关于点（a，y₀），（b，y₀）（a≠b）对称，则函数f（x）是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是请说明理由．

Answer 1

分析 由对称性可得f（x）+f（2a-x）=2y₀且f（x）+f（2b-x）=2y₀，化简可得f（2a-x）=（2b-x），用2a-x替换上式中的x可得f（x）=f（2b-2a+x），由周期函数的定义得f（x）是周期函数并求出一个周期．

解答 解：根据题意，定义在R上的函数f（x）的图象关于点（a，y₀），（b，y₀）（a≠b）对称，
则函数f（x）是周期函数；
f（x）+f（2a-x）=2y₀且f（x）+f（2b-x）=2y₀，
∴f（2a-x）=（2b-x），
用2a-x来替换上式中的x可得f（x）=f（2b-2a+x），
∴f（x）是以2|a-b|为周期的函数．

点评 本题考查了函数的周期性问题，也考查了函数的对称性问题，是基础题目．