Question

（2012•唐山二模）选修4-4：坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为z轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆C₁的极坐标方程为p=4（cosθ+sinθ，P是C₁上一动点，点Q在射线OP上且满足OQ=

1

2

OP，点Q的轨迹为C₂．
（I）求曲线C₂的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（ II）已知直线l的参数方程为

x=2+tcosφ y=tsinφ

（t为参数，0≤φ＜π），l与曲线C₂有且只有一个公共点，求φ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ₀，θ）、（ρ，θ），则极坐标方程，ρ=

1

2

ρ₀=

1

2

•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程．
（Ⅱ）将l的代入曲线C₂的直角坐标方程，得出（tcosφ+1）²+（tsinφ-1）²=2，即t²+2（cosφ-sinφ）t=0，φ的值应使得关于t的方程有两相等实根．

解答：解：（Ⅰ）设点P、Q的极坐标分别为（ρ₀，θ）、（ρ，θ），则
ρ=

1

2

ρ₀=

1

2

•4（cosθ+sinθ）=2（cosθ+sinθ），
点Q轨迹C₂的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），…（3分）
两边同乘以ρ，得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2．…（5分）
（Ⅱ）将l的代入曲线C₂的直角坐标方程，得
（tcosφ+1）²+（tsinφ-1）²=2，即t²+2（cosφ-sinφ）t=0，…（7分）
t₁=0，t₂=sinφ-cosφ，
由直线l与曲线C₂有且只有一个公共点，得sinφ-cosφ=0，
因为0≤φ＜π，所以φ=

π

4

．…（10分）

点评：本题考查了极坐标方程、直角坐标方程的转化，参数方程中参数的意义，考查了方程思想．