Question

（2009•孝感模拟）命题p：方程2x²+mx-2m²-5m-3=0有一正根一负根；
命题q：函数f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上有极值；
若命题“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：根据命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，我们易判断命题p与命题q一真一假，再由命题p：方程2x²+mx-2m²-5m-3=0有一正根一负根；命题q：函数f(x)=x3+mx2+(m+

4

3

)x+6在R上有极值．我们根据二次方程根与系数的关系（韦达定理）及二次函数零点个数的判断方法，得到命题p与命题q对应的参数a的取值范围，分类讨论后，即可得到答案．

解答：解：对命题p，令f（x）=2x²+mx-2m²-5m-3，则f（0）＜0，即2m²+5m+3＞0，解得m＜-

3

2

或m＞-1； （4分）
当命题q为真时：f′(x)=3x2+2mx+(m+

4

3

)△=4m2-12(m+

4

3

)＞0（6分）∴m²-3m-4＞0
故m＞4或m＜-1                                                     （8分）
当命题p或q为真，p且q为假，即p与q有且仅有一个成立∴

m＞-1或m＜- 3 2 -1≤m≤4

或

- 3 2 ≤m≤-1 m＜-1或m＞4

（10分）
∴m∈[-

3

2

，-1)∪(-1，4]．（12分）

点评：掌握简易逻辑的有关知识，学会数形结合的数学思想，理解二次方程与二次函数之间的关系，一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是二次函数的图象与y轴相交于负半轴；而二次函数的图象与x轴有公共点的充要条件是二次方程有根，即△≥0．