Question

（2013•永州一模）已知函数f(x)=ln(1+x)-p

x

．
（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；
（2）如果数列{a_n}满足a₁=3，an+1=[1+

1

n2(n+1)2

]an+

1

4n

，试证明：当n≥2时，4≤an＜4e

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意得f′（x）≤0在定义域[0，+∞）上恒成立，分离参数得到p≥(

2 x

1+x

)max，利用基本不等式即可求得；
（2）由a₁=3可得a₂=4，作差可判断a_n+1＞a_n，根据单调性可得对n∈N^*（n≥2），都有a_n≥4．由an+1=[1+

1

n2(n+1)2

]an+

1

4n

及a_n≥4，得an+1≤[1+

1

n2(n+1)2

]an+

an

4n+1

=[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]an，两边取对数，借助（1）问结论，利用累加法即可证得an＜4e

3

4

；

解答：解：（1）函数f(x)=ln(1+x)-p

x

的定义域为[0，+∞），
f′(x)=

1

1+x

-

p

2 x

=

2 x -p(1+x)

2(1+x) x

．
依题意，2

x

-p(1+x)≤0恒成立，所以p≥(

2 x

1+x

)max，
由x≥0⇒1+x≥2

x

⇒

2 x

1+x

≤1，知(

2 x

1+x

)max=1，
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）．
（2）首先，由a₁=3，得a2=[1+

1

12×22

]×3+

1

4

=4，
而当a_n＞0时有an+1-an=

1

n2(n+1)2

an+

1

4n

＞0，∴a_n+1＞a_n，
所以，对n∈N^*（n≥2），都有a_n≥4．
再由an+1=[1+

1

n2(n+1)2

]an+

1

4n

及a_n≥4，
又得an+1≤[1+

1

n2(n+1)2

]an+

an

4n+1

=[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]an，
∴lnan+1≤ln{[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]an}=ln[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]+lnan，
∴lnan+1-lnan≤ln[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]．
由（1）知当p≥1时f（x）为减函数，取p=1，则f（x）=ln（1+x）-

x

，
当x＞0时f（x）＜f（0）=0，故ln（1+x）≤

x

（x＞0），
∴lnan+1-lnan≤ln[1+

1

n2(n+1)2

+

1

4n+1

]＜

1 n2(n+1)2 + 1 4n+1

＜

1

n(n+1)

+

1

2n+1

=

1

n

-

1

n+1

+

1

2n+1

，
∴lna3-lna2＜

1

2

-

1

3

+

1

23

，lna4-lna3＜

1

3

-

1

4

+

1

24

，…．，lnan-lnan-1＜

1

n-1

-

1

n

+

1

2n

，
将这n-2个式子相加得lnan-lna2＜

1

2

-

1

n

+

1

4

(1-

1

2n-2

)＜

3

4

，
∴

an

a2

＜e

3

4

，将a₂=4代入得an＜4e

3

4

，
故当n≥2时，4≤an＜4e

3

4

．

点评：本题考查数列递推式、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查累加法求和，考查学生分析解决问题的能力．