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    【题目】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，.

    （1）求动点的轨迹的方程；

    （2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最小值时切点的横坐标.

    【答案】（1）；（2）

    【解析】

    （1）设点，，，由已知条件推导出点，，由此能求出动点的轨迹的方程；

    （2）分别求出切线 与 的方程，求得， 的纵坐标，写出三角形的面积，利用导数求解当△面积取最小值时切点的横坐标．

    解：（1）设，，.因为，，

    所以，，，所以.

    （2）

    或

    或

    因为为曲线上第一象限的点，则

    过（其中）作曲线的切线，则切线的斜率

    所以切线：，将代入得，

    直线：，将代入得，，

    因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，

    设，，

    ，

    ，

    .

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