Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设

AP

=λ

PB

①当λ=1时，求直线m的方程；
②当△AOB的面积为4

2

时（O为坐标原点），求直线m的斜率．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线定义，可之所求曲线为抛物线，即可求出方程，
（2）①当λ=1时，点P是弦AB的中点，由中点坐标公式很容易求出．
（3）②△AOB的面积为4

2

时，把面积用含直线斜率的式子表示，再根据已知，得到关于斜率k的一元二次方程，解方程即得．

解答：解：（Ⅰ）∵点M到F（1，0）的距离比它到直线l：y=-2的距离小于1
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：y=-1的距离相等
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l'为准线的抛物线，所以曲线C的方程为x²=4y
（Ⅱ））当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为y-2=k（x-2），
即y=kx+（2-2k），代入x²=4y得x²-4kx+8（k-1）=0△=16（k²-2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1
①由

AP

=λ

PB

，且λ=1得点P是弦AB的中点，
∴x₁+x₂=4，则=4，得k=1∴直线m的方程是x-y=0
②∵|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]

=4

(1+k2)(k2-2k+2)

，
点O到直线m的距离d=

|2-2k|

1+k2

，
∴S△ABO=

1

2

|AB|•d=4|k-1|

k2-2k+2

=4

(k-1)4+(k-1)2

∵S△ABO=4

2

，
∴4

(k-1)4+(k-1)2

=4

2

，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，（k-1）²=1或（k-1）²=-2（舍去）
∴k=0或k=2．

点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，且用到了向量知识，综合性强，做题时认真分析，找到衔接点．