Question

给出下列命题：
①存在实数α使sinα•cosα=1成立；
②存在实数α使sinα+cosα=

3

2

成立；
③函数y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；
④x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的一条对称轴的方程；
⑤在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中正确命题的序号是（　　）

Answer 1

分析：①根据正弦二倍角公式sin2α=2sinαcosα对①进行判断；
②利用辅助角公式进行判断；
③函数y=sin(

5π

2

-2x)化为余弦，然后在进行判断；
④把x=

π

8

代入函数y=sin(2x+

5π

4

)进行判断；
⑤在△ABC中，可判断A，B属于（0，π），再根据A为锐角或钝角两种情况进行说明，进行判断；

解答：解：①∵sinα•cosα=

1

2

sin2α=1，∴sin2α=2，显然是不可能的，故①错误；
②∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)=

3

2

，∴sin（α+

π

4

）=

3 2

4

＞1，故不存在α使sinα+cosα=

3

2

成立；
③∵y=sin(

5π

2

-2x)=cos（

π

2

-

5π

2

+2x）=cos（2x-2π）=cos2x，∴y是偶函数，故③正确；
④把x=

π

8

代入得，y=sin(2x+

5π

4

)=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，∴x=

π

8

为y的一条对称轴；故④正确；
⑤若A＞B，当A不超过90°时，显然可得出sinA＞sinB，
当A是钝角时，
由于

π

2

＞π-A＞B，可得sin（π-A）=sinA＞sinB，
即 A＞B⇒sinA＞sinB
故选B．

点评：此题主要考查命题的真假的判断及应用，考查的知识点比较多，综合性比较强，是一道中档题；