Question

给出下列命题：
①存在实数x，使得sinx+cosx=

π

3

；
②函数y=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=sin(2x+

π

4

)的图象；
③函数y=sin(

2

3

x-

7

2

π)是偶函数；
④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．
其中正确的命题的个数为

3

．

Answer 1

分析：利用和差角公式，及正弦型函数的值域，可判断①的真假；
根据函数图象的平移规则，结合已知求出平移后函数的解析式，比照后可判断②的真假；
利用诱导公式，将已知函数解析式化为余弦型函数，可判断③的真假；
根据已知临到α＞

π

2

-β，进而根据正弦函数的单调性可得④的真假

解答：解：sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，

π

3

∈[-

2

，

2

]，故①正确；
将函数y=sin2x的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=sin[2(x-

π

4

)]的图象．故②错误；
函数y=sin(

2

3

x-

7

2

π)=com(

2

3

x)是偶函数，故③正确；
已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则α+β＞

π

2

，则α＞

π

2

-β，sinα＞sin(

π

2

-β)=cosβ，故④正确
故答案为：3

点评：本题考查的知识点是三角函数的性质，命题的真假判断与应用，其中熟练掌握三角函数的性质是解答的关键．