Question

6．设命题“如果a，b，c均是奇数，那么方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有等根”．试判断它的四种命题的真假．

Answer 1

分析 分别利用定义逆命题；否命题；逆否命题即可得出．进而判断出真假．

解答 解：设a=2m-1，b=2n-1，c=2p-1（m，n，p∈Z），
则b²-4ac=（2n-1）²-4（2m-1）（2p-1）
=4[n²-n-（2m-1）（2p-1）]+1为奇数．
∴b²-4ac≠0．
∴方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有等根．
即原命题是真命题．
它的逆否命题“若方程ax²+bx+c=0（a≠0）有等根，则a，b，c不全为奇数”也是真命题．
它的逆命题为“若方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有等根，则a，b，c均为奇数”
当a=1，b=0，c=-1时，方程x²-1=0没有等根，其中b=0不是奇数．
所以它的逆命题是假命题．
它的否命题“如果a，b，c不全为奇数，那么方程ax²+bx+c=0（a≠0）有等根”也是假命题．

点评 本题考查了逆命题、否命题、逆否命题的定义、一元二次方程有实数根与判别式的关系，属于中档题．