Question

设F为椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的左焦点，A、B、C为该椭圆上三点，若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，则|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|的值为（　　）

• A．

  24

  5

• B．

  48

  5

• C．

  38

  5

• D．

  58

  5

Answer 1

分析：算出椭圆的左焦点为F（-3，0），设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）．根据

FA

+

FB

+

FC

=

0

，利用向量的坐标运算得到x₁+x₂+x₃=-9．由椭圆的第二定义算出|

FA

|=5+

3

5

x₁、|

FB

|=5+

3

5

x₂且

FC

=5+

3

5

x₃，相加并代入前面证出的等式，即可算出|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|的值．

解答：解：∵椭圆

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，得椭圆的左焦点为F（-3，0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
可得

FA

=（x₁+3，y₁），

FB

=（x₂+3，y₂），

FC

=（x₃+3，y₃），
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

∴（x₁+3）+（x₂+3）+（x₃+3）=0，可得x₁+x₂+x₃=-9．
椭圆的离心率e=

c

a

=

3

5

，由椭圆的第二定义，
得：|

FA

|=a+ex₁=5+

3

5

x₁，同理得到|

FB

|=5+

3

5

x₂，

FC

=5+

3

5

x₃，
∴|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=15+

3

5

（x₁+x₂+x₃）=15+

3

5

×（-9）=

48

5

．
故选：B

点评：本题给出椭圆上三个点A、B、C，在三角形ABC的重心位于左焦点时，求三点到左焦点的距离之积．着重考查了向量的坐标运算、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．