Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（sinx，sinx），设f（x）=

a

•

b

1）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
2）若f（x₀）=

1

2

+

3 2

10

，x₀∈（

3π

8

，

5π

8

），求cos2x₀的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，根据x的范围确定函数的最大和最小值．
2）根据已知等式先求的sin（x₀-

π

4

）的值，进而根据二倍角公式求得sin2x₀的值，最后利用平方关系求得cos2x₀的值．

解答： 解：1）f（x）=sinxcosx+sin²x=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（x-

π

4

）+

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x-

π

4

∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴f（x）_max=

2

2

×

2

2

+

1

2

=1，
f（x）_min=-

2

2

×

2

2

+

1

2

=0．
2）f（x₀）=

2

2

sin（x₀-

π

4

）+

1

2

=

1

2

+

3 2

10

，
∴sin（x₀-

π

4

）=

3

5

∴cos（2x₀-

π

2

）=1-2sin²（x₀-

π

4

）=1-2×

9

25

=

7

25

=sin2x₀，
∵x₀∈（

3π

8

，

5π

8

），
∴2x₀∈（

3π

4

，

5π

4

），
∴cos2x₀=-

1-sin22x0

=-

24

25

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生分析能力和运算能力．