Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是公比为q的等比数列，且a₁=b₁=3，a₃=b₂-2，S₄=b₃-3．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得关于d、q的方程组，解出d，q，再由等差数列、等比数列的通项公式即可得到a_n，b_n；
（2）利用错位相减法可求得T_n．

解答： 解：（1）由a₁=b₁=3，知a₃=3+2d，b₂=3q，
S4=

(3+3+3d)×4

2

=12+6d，b3=3q2，
从而可得

3+2d=3q-2 12+6d=3q2-3

，即

2d=3q-5 6d=3q2-15

，
解得q=3，d=2，
从而有a_n=3+（n-1）×2=2n+1，bn=3×3n-1=3n．
（2）由（1）可知c_n=a_nb_n=（2n+1）×3ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n+1）×3ⁿ，
则3T_n=3×3²+5×3³+7×3⁴+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
两式相减得-2T_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=3×3+2×3²（1+3+3²+3³+…+3^n-2）-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=9+18×

3n-1-1

2

-（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴Tn=n×3n+1．

点评：该题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，考查学生的运算求解能力，熟记相关公式是解题关键．