Question

已知函数f(x)=ex-

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x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=e^x-x-a，从而f′（0）=1-a=2，解得：a=-1，得f（x）=e^x-

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x²+x，解得：b=1．
（Ⅱ）由题意f′（x）＞0，即e^x-x-a≥0恒成立，得a≤e^x-x恒成立，设h（x）=e^x-x，求出h（x）_min=h（0）=1，从而a≤1．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-x-a，
∴f′（0）=1-a=2，解得：a=-1，
∴f（x）=e^x-

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x²+x，
∴f（0）=1，
∴1=2×0+b，解得：b=1．
（Ⅱ）由题意f′（x）＞0，即e^x-x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-x恒成立，
设h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1，
令h′（x）＞0，解得：x＞0，
令h′（x）＜0，解得：x＜0，
∴h（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∴h（x）_min=h（0）=1，
∴a≤1．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道基础题．