Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，焦距是函数f（x）=x²-8的零点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，|CD|=

6 2

5

，求k的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用焦距是函数f（x）=x²-8的零点，求出c，利用离心率e=

6

3

，求出a，即可求出椭圆的方程；
（2）y=kx+2（k≠0）代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，即可求k的值．

解答： 解：（1）∵焦距是函数f（x）=x²-8的零点，
∴2c=2

2

，∴c=

2

，
∵e=

c

a

=

6

3

，∴a=

3

，
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则
y=kx+2（k≠0）代入椭圆方程可得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
∴x₁+x₂=-

12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

∴|CD|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

6 2

5

，
∴k²=3，∴k=±

3

．

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．