Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）当

a

∥

b

时，求

cos2x-sin2x

cos2x

的值；
（2）设函数f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，求f（x）在[0，

7π

24

]上的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由向量的共线的坐标表示，和二倍角公式，同角三角函数的关系式，即可求出答案，注意化成正切；
（2）由向量的数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦的和角公式，化简得到

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可求出取值范围．

解答： 解：（1）∵当

a

∥

b

时，
∴

3

4

cos x+sin x=0，
∴tan x=-

3

4

．
∴

cos2x-sin2x

cos2x

=

cos2x-2sinxcosx

cos2x-sin2x

=

1-2tanx

1-tan2x

=

40

7

．
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx，-

1

4

）•（cosx，-1）=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
∵x∈[0，

7π

24

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

6

]．∴

1

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴

2 +3

2

≤f（x）≤

2

+

3

2

．

点评：本题考查向量的共线坐标表示、向量的数量积的坐标表示，同时考查三角函数的化简、求值，注意正、余弦的和差公式以及二倍角公式的运用．