Question

已知

a

=（

3

，cosx），

b

=（cos²x，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（1）求函数f（x）最大值，及取得最大值时对应的x值．
（2）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）通过数量积求出函数的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值及对应的x的值；
（2）通过x∈[0，

π

4

]，求出相位的范围，再求函数f（x）的最大值，最小值．

解答： 解：函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=

3

×

1+cos2x

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)．
（1）当2x+

π

3

=

π

2

+2kπ即x=

π

12

+kπ，(k∈Z)时，f（x）取得最大值1．
（2）∵x∈[0，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，∴sin(2x+

π

3

)∈[

1

2

，1]，
∴

1

2

≤f(x)≤1．
函数f（x）的取值范围：[

1

2

，1]．

点评：本题是中档题，考查通过向量的数量积解决三角函数的有关知识，最值等知识，考查计算能力．常考题型．