练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•奉贤区二模）动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．设圆心C的轨迹Γ方程为F（x，y）=0
    （1）求F（x，y）=0；
    （2）曲线Γ上一定点P（1，2），方向向量
    		d
    =(1，-1)    的直线l（不过P点）与曲线Γ交与A、B两点，设直线PA、PB斜率分别为kPA，kPB，计算kPA+kPB；
    （3）曲线Γ上的一个定点P0（x0，y0），过点P0作倾斜角互补的两条直线P0M，P0N分别与曲线Γ交于M，N两点，求证直线MN的斜率为定值．
    分析：（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
    （2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1，过不过点P的直线方程为y=-x+b，代入抛物线方程得y2+4y-4b=0，利用根与系数的关系及斜率公式，计算kAP+kBP=
    y1-2
    x1-1
    +
    y2-2
    x2-1
     的值，从而得出结论．
    （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），计算 kMN=
    y2-y1
    x2-x1
    的解析式．设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），代入抛物线方程利用根与系数的关系求得 y1+y2的值，从而求得kMN的值，从而得出结论．
    解答：解：（1）过点C作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|CF|=|CN|，
    即动点C到定点F与定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线．
    其中（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以轨迹方程为y2=4x．
    （2）证明：设 A（x1，y1）、B（x2，y2），由题得直线的斜率-1．
    过不过点P的直线方程为y=-x+b，由
    y2=4x
    y=-x+b
     得  y2+4y-4b=0，则y1+y2=-4．
    由于P（1，2），kAP+kBP=
    y1-2
    x1-1
    +
    y2-20
    x2-1
    =
    y1-2
    y
    2
    1
    4
    -1
    +
    y2-2
    y
    2
    2
    4
    -1

    =
    4
    y1+2
    +
    4
    y2+2
    =
    4(y1+y2+4)
    (y1+2)(y2+2)
    =0．
    （3）设M（x1，y1），N（x2，y2），则 kMN=
    y2-y1
    x2-x1
    =
    y2-y1
    y
    2
    2
    4
    -
    y
    2
    1
    4
    =
    4
    y1+y2
    （***）．
    设MP的直线方程为y-y0=k（x-x0），
    由
    y2=4x
    y-y0=k(x-x0)
    ，可得y2-
    4
    k
    y+
    4y0
    k
    -4x0=0    ，
    则y0+y1=
    4
    k
    ，∴y1=
    4
    k
    -y0    ．
    同理y0+y2=-
    2p
    k
    ，得y2=-
    4
    k
    -y0    ．
    代入（***）计算得：y1+y2=-2y0 ，∴kMN=-
    2
    y0
    （为定值）．
    点评：本题主要考查抛物线的定义，圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，直线的斜率公式，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区二模）已知O是坐标原点，点A（-1，1）．若点M（x，y）为平面区域
    x+y≥2
    x≤1
    y≤2
    上的一个动点，则
    OA
    •
    OM
    的取值范围是
    [0，2]
    [0，2]
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区二模）已知函数f（x）=lg（ax-bx）（a＞1＞b＞0），且a2=b2+1，则不等式f（x）＞0的解集是
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区二模）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是
    4
    4
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区二模）函数f（x）=2sin2x的最小正周期是
    π
    π
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•奉贤区二模）在(x-
    1x
    )8    的二项展开式中，常数项是
    70
    70
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案