Question

8．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设向量$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow{b}$=（2，t）（t≠0），$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为α，若f（α）=1，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）展开，使用二倍角公式与和差公式化简；
（2）由f（α）=1解出α，结合图形得出t．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+cos2x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ．
∴函数f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（α）=2sin（2α+$\frac{π}{6}$）=1，∴sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．∴2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$+2kπ，或2α+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$+2kπ．
∵α∈[0，π]，∴α=0，或α=π，或α=$\frac{π}{3}$．
若α=0，则$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$，∴t=0（舍去）．若α=π，则$\frac{1}{2}=\frac{0}{t}＜0$，无解．若α=$\frac{π}{3}$，则$\frac{t}{2}$=tan$\frac{π}{3}$，或$\frac{t}{2}$=-tan$\frac{π}{3}$，解得t=2$\sqrt{3}$或t=-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换与性质，三角函数求值，属于中档题．