Question

10．已知函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$，
（1）求函数f（x）的对称轴所在直线的方程；
（2）求函数f（x）单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函数的图象的对称性求得函数f（x）的图象对称轴所在直线的方程．
（2）由条件利用余弦函数的增区间，求得函数f（x）单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=cos（$\frac{π}{3}$+x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）•（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）-sinxcosx+$\frac{1}{4}$
=$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{3}{4}$sin²x-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$cos2x-$\frac{1}{2}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的图象的对称轴方程为2x+$\frac{π}{4}$=kπ，即 $x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，k∈Z$．
（2）令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{4}$≤kπ，求得kπ-$\frac{5π}{8}$≤x≤kπ-$\frac{π}{8}$，可得函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{5π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要三角函数的恒等变换，余弦函数的图象的对称性，余弦函数的增区间，属于基础题．