【题目】在三棱柱中,已知
,点
在底面
的投影是线段
的中点
.
(1)证明:在侧棱上存在一点
,使得
平面
,并求出
的长;
(2)求:平面与平面
夹角的余弦值.
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【题目】椭圆与
轴,
轴的正半轴分别交于
两点,原点
到直线
的距离为
,该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线
与椭圆交于两个不同的点
,求线段
的垂直平分线在
轴上截距的取值范围.
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【题目】某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获(单位:
)与它的“相近”作物株数
之间的关系如下表所示:
1 | 2 | 3 | 4 | |
51 | 48 | 45 | 42 |
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)在所种作物中堆积选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
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【题目】已知椭圆:,点
.
(1)设是椭圆
上任意的一点,
是点
关于坐标原点的对称点,记
,求
的取值范围;
(2)已知点,
,
是椭圆
上在第一象限内的点,记
为经过原点与点
的直线,
为
截直线
所得的线段长,试将
表示成直线
的斜率
的函数.
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【题目】食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入种黄瓜的年收入
与投入
(单位:万元)满足
.设甲大棚的投入为
(单位:万元),每年两个大棚的总收益为
(单位:万元)
(1)求的值;
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益最大?
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【题目】记表示
,
中的最大值,如
.已知函数
,
.
(1)设,求函数
在
上零点的个数;
(2)试探讨是否存在实数,使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】几何证明选讲
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
是参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线与曲线
交于
两点,求
的最大值和最小值.
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【题目】已知O为原点,A,B,C为平面内的三点.求证:
(1) 若A,B,C三点共线,则存在实数α,β,且α+β=1,
(2) 若存在实数α,β,且α+β=1,使得,则A,B,C三点共线.
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