Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]?D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“和谐区间”．下列结论错误的是（　　）

• A、函数f（x）=x²（x≥0）存在“和谐区间”
• B、函数f（x）=e^x（x∈R）不存在“和谐区间”
• C、函数f(x)=

  4x

  x2+1

  （x≥0）存在“和谐区间”
• D、函数f(x)=loga(ax-

  1

  8

  )（a＞0，a≠1）不存在“和谐区间”

Answer 1

分析：根据函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②0

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

，对四个函数分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”即可．

解答：解：函数中存在“倍值区间”，则：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②

f(a)=2a f(b)=2b

或

f(a)=2b f(b)=2a

．
A．若f（x）=x²（x≥0），若存在“倍值区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由

f(a)=2a f(b)=2b

，
得

a2=2a b2=2b

，∴

a=0 b=2

，
∴f（x）=x²（x≥0）存在“倍值区间”[0，2]，∴A正确．
B若f（x）=e^x（x∈R），若存在“倍值区间”[a，b]，
则此时函数单调递增，则由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

ea=2a eb=2b

，
即a，b是方程e^x=2x的两个不等的实根，
构建函数g（x）=e^x-2x，
∴g′（x）=e^x-2，
∴函数在（-∞，ln2）上单调减，在（ln2，+∞）上单调增，
∴函数在x=ln2处取得极小值，且为最小值．
∵g（ln2）=2-ln2＞0，
∴g（x）＞0，
∴e^x-2x=0无解，故函数不存在“倍值区间”，∴B正确．
C．若函数f(x)=

4x

x2+1

（x≥0），
f′（x）=

4(x2+1)-4x•2x

(x2+1)2

=

4(x+1)(1-x)

(x2+1)2

，
若存在“倍值区间”[a，b]⊆[0，1]，
则由

f(a)=2a f(b)=2b

，得

4a a2+1 =2a 4b b2+1 =2b

，
∴a=0，b=1，
即存在“倍值区间”[0，1]，∴C正确．
D．若函数f(x)=loga(ax-

1

8

)（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，
若存在“倍值区间”[m，n]，
则由

f(m)=2m f(n)=2n

，得

loga(am- 1 8 )=2m loga(an- 1 8 )=2n

，
即m，n是方程loga（a^x-

1

8

）=2x的两个根，
即m，n是方程a^2x-ax+

1

8

=0的两个根，
由于该方程有两个不等的正根，故存在“倍值区间”[m，n]，∴D结论错误．
故选：D．

点评：本题主要考查与函数性质有点的新定义，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．