Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角α=

π

4

，求|AB|；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求得结论；
（2）利用点差法，即可求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）设直线方程代入椭圆方程，确定AB的垂直平分线NG的方程，可得点G横坐标的取值范围．

解答：解：（1）直线l的方程为y=x+1，与椭圆方程联立，可得3x²+4x=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1=0，x2=

4

3

∴|AB|=

2

|x1-x2|=

4

3

2

；
（2）设弦AB的中点M的坐标为（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
依题意有

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1 x1+x2=2x y1+y2=2y y1-y2 x1-x2 = y x+1

，化简可得x²+x+2y²=0…（7分）
（3）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得

xG=x0+ky0=- 2k2 2k2+1 + k2 2k2+1 =- k2 2k2+1 =- 1 2 + 1 4k2+2 ．

∵k≠0，
∴-

1

2

＜xG＜0，
∴点G横坐标的取值范围为（-

1

2

，0）．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．