Question

（2012•钟祥市模拟）如图，已知椭圆

x2

2

+y2=1内有一点M，过M作两条动直线AC、BD分别交椭圆于A、C和B、D两点，若|

AB

|2+|

CD

|2=|

BC

|2+|

AD

|2．

（1）证明：AC⊥BD；
（2）若M点恰好为椭圆中心O
（i）四边形ABCD是否存在内切圆？若存在，求其内切圆方程；若不存在，请说明理由．
（ii）求弦AB长的最小值．

Answer 1

分析：（1）设出点的坐标，利用|

AB

|2+|

CD

|2=|

BC

|2+|

AD

|2，即可证得

AC

•

BD

=0，从而AC⊥BD；
（2）（i）根据AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，所以四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，设直线AB方程为：y=kx+m，利用圆心到直线的距离，可得r2=

m2

k2+1

；联立　

y=kx+m x2 2 +y2=1

，利用OA⊥OB，可得m2=

2

3

(1+k2)，从而可求内切圆的方程；
（ii）求出弦AB的长|AB|=

3 2 m2

•

16( 3 2 m2-1)m2 [1+2( 3 2 m2-1)]2 -8 (m2-1) 1+2( 3 2 m2-1)

=

12m2(2m2-1) (3m2-1)2

，令3m²-1=t，则m2=

t+1

3

，所以|AB|=

12• t+1 3 (2 t+1 3 -1) t2

=

4 3 (- 1 t2 + 1 t +2)

=

4 3 [-( 1 t2 - 1 2 )]2+ 9 4

根据m2≥

2

3

，即可求得弦AB长的最小值．

解答：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由|

AB

|2+|

CD

|2=|

BC

|2+|

AD

|2知(x1-x2)2+(y1-y2)2+(x3-x4)2+(y3-y4)2=(x2-x3)2+(y2-y3)2+(x1-x4)2+(y1-y4)2
展开整理得：x₁x₂+y₁y₂+x₃x₄+y₃y₄=x₂x₃+y₂y₃+x₁x₄+y₁y₄
即x₁（x₂-x₄）+x₃（x₄-x₂）+y₁（y₂-y₄）+y₃（y₄-y₂）=0
∴（x₁-x₃）（x₂-x₄）+（y₁-y₃）（y₂-y₄）=0
即

AC

•

BD

=0，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由椭圆对称性知AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是菱形，它存在内切圆，圆心为O，设半径为r，直线AB方程为：y=kx+m
则r=

|m|

k2+1

，即r2=

m2

k2+1

①
联立　

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
∴△=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-2)＞0，x1+x2=

-4mk

1+2k2

，x1•x2=

2m2-2

1+2k2

由（1）知OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=0
∴

2m2-2

1+2k2

+k2•

2m2-2

1+2k2

+km

-4km

1+2k2

+m2=0
∴2m²-2+2m²k²-2k²-4k²m²+m²+2m²k²=0
∴m2=

2

3

(1+k2)②
②代入①有：r2=

2

3

∴存在内切圆，其方程为：x2+y2=

2

3

…．（9分）
容易验证，当k不存在时，上述结论仍成立．
（ii）|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

16k2m2 (1+2k2)2 -4 2m2-2 1+2k2

∵m2=

2

3

(1+k2)k2=

3

2

m2-1≥0，m2≥

2

3

∴|AB|=

3 2 m2

•

16( 3 2 m2-1)m2 [1+2( 3 2 m2-1)]2 -8 (m2-1) 1+2( 3 2 m2-1)

=

12m2(2m2-1) (3m2-1)2

令3m²-1=t，则m2=

t+1

3

∴|AB|=

12• t+1 3 (2 t+1 3 -1) t2

=

4 3 (- 1 t2 + 1 t +2)

=

4 3 [-( 1 t2 - 1 2 )]2+ 9 4

∵m2≥

2

3

，∴

t+1

3

≥

2

3

，故t≥1，∴0＜

1

t

≤1
当

1

t

=1时，|AB|min=

4 3 +2

=

2 6

3

，此时m2=

2

3

，k2=0
容易验证，当k不存在时，|AB|=

2 6

3

…．（13分）

点评：本题以椭圆方程为载体，考查向量知识的运用，考查椭圆与圆的综合，考查圆中的弦长的求解，挖掘隐含，熟练计算是关键．