Question

已知 

a

=（1，cosx），

b

=（sin2x，2cosx），且f（x）=

a

•

b

-1
（1）求函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（2）三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b=

2

，c=1且f（A）=1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）易求f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），当x∈[0，π]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，利用正弦函数的单调性即可求得函数y=f（x）在x∈[0，π]的单调增区间；
（2）△ABC中，由f（A）=

2

sin（2A+

π

4

）=1，可求得A=

π

4

，利用余弦定理即可求得a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-1
=sin2x+1+cos2x-1
=

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[0，π]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]，
由

π

4

≤2x+

π

4

≤

π

2

与

3π

2

≤2x+

π

4

≤

9π

4

得0≤x≤

π

8

或

5π

8

≤x≤π，
当x∈[0，π]时，f（x）的单调增区间为[0，

π

8

]和[

5π

8

，π]；
（2）∵f（A）=

2

sin（2A+

π

4

）=1，
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，又三角形ABC中，A∈（0，π），
∴2A+

π

4

=

3π

4

，解得A=

π

4

，
又b=

2

，c=1，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=2+1-2

2

×

2

2

=1，
∴a=1．

点评：本题考查正弦函数的单调性，考查数量积的坐标于是与余弦定理，属于中档题．