Question

在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．
求证：∠DAP=∠BAP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a＞0，b＞0，若矩阵A=

.

a 0 0 b

.

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1
C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦长为2

3

求实数a的值．
D．选修4-5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a²+4b²+

1

ab

≥4．

Answer 1

分析：A、利用CP与圆O相切，AB为圆O直径，可得∠BAP=90°-∠PBA；利用AD⊥CP，可得∠DAP=90°-∠DPA，从而可得结论；
B．（1）确定矩阵A变换，坐标之间的关系，利用椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1及圆的方程，可求a，b的值；
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，求出行列式，即可求得逆矩阵；
C．化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心C到直线l的距离，利用圆C被直线l截得的弦长为2

3

，可求a的值；
D．两次利用基本不等式，即可证得结论．

解答：A、证明：因为CP与圆O相切，所以∠DPA=∠PBA．…2分           
因为AB为圆O直径，所以∠APB=90°，
所以∠BAP=90°-∠PBA．…6分                           
因为AD⊥CP，所以∠DAP=90°-∠DPA，
所以∠DAP=∠BAP．  …10分 
B．选修4-2：矩阵与变换
解：（1）设点P（x，y）为圆C：x²+y²=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）
则

a 0 0 b

x y

=

ax by

=

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

． …2分
因为点P′（x′，y′）在椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1上，
所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，这个方程即为圆C方程． …6分
所以

a2=4 b2=3

，因为a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．       …8分
（2）由（1）得A=

2 0 0 3

，所以

.

2 0 0 3

.

=2

3

，所以A^-1=

1 2 0 0 3 3

．  …10分
C．选修4-4：坐标系与参数方程
解：因为圆C的直角坐标方程为（x-2） ²+y²=4，直线l的直角坐标方程为x-

3

y+2a=0． …4分
所以圆心C到直线l的距离d=

|2+2a|

2

=|1+a|． …6分
因为圆C被直线l截得的弦长为2

3

，所以r²-d²=3．
即4-（1+a）²=3．解得a=0，或a=-2． …10分
D．选修4-5：不等式选讲
证明：因为a，b是正数，所以a²+4b²≥4ab． …2分
所以a²+4b²+

1

ab

≥4ab+

1

ab

≥2

4ab× 1 ab

=4．
即a²+4b²+

1

ab

≥4．   …10分

点评：本题考查选讲知识，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．