Question

10．如图是半径为1的半圆，且PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP=α，则其值为$\frac{π}{4}$时，矩形的面积最大，最大面积为1．

Answer 1

分析 根据直角三角形中的三角函数和图形求出矩形的长和宽，再表示出矩形的面积，利用倍角的正弦公式化简，再由正弦函数的最值求出矩形面积的最大值．

解答 解：∠SOP=α，PS=sinα，SR=2cosα，
∴矩形PQRS的面积S=SR•PS=2cosα•sinα=sin2α，
当α=$\frac{π}{4}$时，S_max=1，
故答案为：$\frac{π}{4}$，1．

点评 本题是实际问题为背景，考查了倍角的正弦公式，正弦函数的值域以及直角三角形中的三角函数，注重数学在实际中的应用．