已知数列
满足
．
（1）证明数列
为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）若数列
满足
．证明：数列是等差数列．
（3）证明：
．
（1）
；（2）详见解析；（3）详见解析.
解析试题分析：（1）证明数列为等比数列，就是证明
为一个常数. 因为
,所以
，所以,
是以2为首项,2为公比的等比数列. 则
,即,
；（2）证明数列是等差数列，就是要证明
为一个常数．首先化简等式，即
，所以
，这实质是
，因此作差消去
得：
，再作差消去常数得：
，
，即
；（3）证明数列不等式，一般有两个思路，一是求和，二是放缩.本题由于通项
不适宜求和，所以尝试放缩，即利用变量分离进行放缩，由
，得.
试题解析：（1）因为,所以
,且
,
所以,是以2为首项,2为公比的等比数列. 2分
则,即,. 3分
（2）因为
所以. 4分
所以 ①
② 6分
②-①,得
即 ③ 
④ 8分
④-③,得
,
即
得, 10分
所以数列为等差数列.
(3）因为
,
11分
所以. 12分
考点：用定义证明等差数列、等比数列，放缩法证明数列不等式
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数f(x)＝
，数列{an}满足：2an＋1－2an＋an＋1an＝0且an≠0．数列{bn}中，b1＝f(0)且bn＝f(an－1)．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列{|bn|}的前n项和Tn．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知数列
，
满足
，
，
，
．
（1）求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（2）设数列
满足
，对于任意给定的正整数
，是否存在正整数
，
(
)，使得
，
，
成等差数列？若存在，试用
表示，
；若不存在，说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数
）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：
；
为数表中第
行的第
个数．
求第2行和第3行的通项公式
和
；
证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求
关于（
）的表达式；
（3）若
，
，试求一个等比数列
，使得
，且对于任意的
，均存在实数
?，当
时，都有
．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知数列
中，
，对任意的
，
、
、
成等比数列，公比为
；、、
成等差数列，公差为
，且
．
（1）写出数列的前四项；
（2）设
，求数列
的通项公式；
（3）求数列
的前
项和
．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{
}成等差数列.
(1)证明:数列{an}中有无穷多项为无理数;
(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an<200的所有整数项的和.
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中，
满足
（
为常数，
）
时，求
；
时，求
的值；
恒成立的常数
中，已知
，
（
.
是等差数列；
的通项公式
及它的前
项和
.